¿Qué es un fractal?: Propiedades | Filotécnica [ciencia]

06.03.2013 07:02

 

Hoy miércoles nos hemos levantado fractales así que aprovecharemos y hablaremos un poco de estos bichos.

Qué se entiende por dimensión fractal. También discutiremos varias de las propiedades de estos hermosos objetos geométricos.

 

¿Qué es un fractal?

Se puede definir un fractal como un objeto geométrico que consiste en un conjunto de puntos que tienen asociada una dimensión que por regla general no tiene porqué ser un número entero. Además tiene una particularidad denominada auto-similaridad que implica que el objeto presenta la misma estructura en cualquier escala a la que lo observemos.

Construyamos un fractal: El triángulo de Sierpinski

La forma más simple de construir un fractal es generar un proceso interativo. Para ejemplificar esta idea tomaremos el triángulo de Sierpinski. Para ello seguiremos este procedimiento:

. Tomamos un triángulo.

.  Identificamos los puntos medios de cada lado del triángulo y eliminamos el triángulo que queda en el medio.

.  En los tres triángulos (negros) restantes volvemos a repetir el paso anterior.

.  Continuamos el proceso indefinidamente.

Lo que nos quedaría (suponiendo que podemos hacer este proceso indefinidamente) es lo que se conoce como el triángulo de Sierpinski.

Tomando cualquier porción y haciendo un zoom en ella encontramos de nuevo la misma estructura que el objeto completo. Esta es la propiedad de auto-similaridad:

Esto implica que las mismas estructuras se repiten en el fractal en todas las escalas. En resumen, en un fractal no hay una escala característica. Es decir, no podemos decidir si lo que estamos viendo es el objeto completo o un zoom del mismo que haya sido re-escalado.

 

¿Qué entender por dimensión?

En matemáticas encontramos muchas definiciones diferentes de lo que se entiende por dimensión. Aquí tomaremos la más intuitiva:

Llamaremos dimensión al menor número de coordenadas que necesitamos para identificar un punto en un espacio dado.

Imaginemos que nos movemos por un espacio de 2 dimensiones. Decimos que tiene dos dimensiones porque podemos identificar sus puntos mediante duplas de números:

En una curva, una vez elegido un origen, basta dar 1 número para identificar los puntos que la componen. Por esto decimos que una curva es un objeto de una dimensión. En una superficie necesitamos dos números, 2 dimensiones. Y en un volumen necesitaríamos 3 números.

En un espacio de dimensión D, tal y como la hemos definido, podemos tener objetos cuyas dimensiones vayan desde 0 hasta D. Por ejemplo, en un espacio de dimensión 2 podemos tener puntos (0D), curvas (1D), y superficies (2D). Es evidente que en un espacio de dimensión 2 no podemos “meter” volúmenes (3D).

Según lo que hemos dicho hasta ahora no tiene ningún sentido hablar de una dimensión que no sea un número entero. Pero, aunque las matemáticas parecen ser muy rígidas, siempre hay hueco para flexibilizar las definiciones y ver que sale de ello.

Re-escalar

Ahora tomemos curvas (1D), superficies (2D) y volúmenes (3D) y re-escalemos sus dimensiones por un factor 1/r.

 

¿Qué significa esto?

1.    Imaginemos que tenemos un segmento de longitud L1.

2.    Ahora dividimos ese segmento en dos trozos de igual longitud. Cada trozo es auto-similar al segmento original.

3.    Tomemos uno de estos trozos. Para obtener un segmento igual al inicial tenemos que magnificarlo por un r=2.

4.    Aquí podemos ver que el número de trozos auto-similares N=2 viene dado por la magnificación r=2, elevada al número de dimensiones del objeto, D.

N= rD

Este procedimiento es válido para cualquier número de divisiones de igual longitud que hagamos en el segmento original

Análogamente podemos hacerlo con el cuadrado o con el cubo.

 

Disgresión: Logaritmos

En el caso anterior uno podría preguntarse: ¿Cuál es la dimensión D del objeto que estoy estudiando?

Para responder a esta pregunta tenemos que conocer una propiedad de los logaritmos dado que la expresión anterior N= rD  tiene la dimensión del objeto en un exponente.

La propiedad que nos interesa es: Ln(xy)= yln.x

 

Es decir, que el logaritmo de una potencia xy es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Recordemos que el ln es la operación inversa de la exponenciación. Es decir, el ln(x)responde a a la pregunta de ¿a qué número tengo que elevar el número e para que me de el valor x?

Por ejemplo, ln(c)=1 que responde la siguiente pregunta: ¿A qué número tengo que elevar el número “e” para que me de “e”? La respuesta es simple, el 1, porque c1= c

Por lo tanto, ln(ex)= x ya que al número que tengo que elevar “e” para que me de ex es justamente x. Exponenciales y logaritmos son operaciones inversas, así que tendremos que  eln(x)= x.

Y recordemos que (eb)c= ebc. Por ejemplo:

(e2)3=(ee)3=(ee)(ee)(ee)=eeeeee=e6=e2x3

 

Ahora para demostrar que  ln(xy)=ylnx  haremos lo siguiente:

1) Partimos de xy.

2) x lo podemos escribir como x= cln(x) .

3) Por lo tanto, xy= (eln(x))y.

4) Eso se puede escribir como: (eln(x))y=eyln(x) .

5) Tomando ahora logaritmos a ambos lados de la igualdad: ln((eln(x))y)=ln(eyln(x))

nos queda: ln(xy)= ylnx

Por tanto, si tenemos N=rD. Para hallar D solo tenemos que tomar logaritmos:

ln(N)=ln(rD)

ln(N)=Dln(r)

D=ln(N)/ln(r)

Con lo que obtenemos:

 

Podemos calcular la dimensión D de un objeto calculando el cociente entre el logaritmo del número de partes autosimilares en la que lo hemos dividido y el logaritmo del factor de magnificación que necesitamos para recuperar el objeto original partiendo de cada división autosimilar.

 

¿Cuánto vale la dimensión del triángulo de Sierpinski?

Ahora podemos aplicar lo que hemos aprendido. Esto se puede calcular en cada paso del proceso de generación del triángulo. Aquí lo haremos para el primer paso.

Tres triángulos autosimilares. Por lo tanto N=3.

1.    Para recuperar el triángulo original partiendo de uno de estos hemos de multiplicar por un factor de magnificación r=2.

Con estos datos podemos calcular la dimensión del triángulo de Sierpinski:

D=ln3/ln2=1.5854…

Como vemos hemos obtenido que según esta definición de dimensión el triángulo de Sierpinski está entre la dimensión de una curva y la dimensión de un plano.

Esta definición de dimensión fue dada por Hausdorff. Podéis comprobar que para la línea, el cuadrado y el cubo de una imagen anterior se obtienen D=1,2,3 respectivamente como era de esperar.

Sin embargo, para conjuntos más irregulares, como el triángulo de Sierpinski, la dimensión no es un número entero. Esto es así porque en el proceso de construcción (con un número infinito de pasos) dicho triángulo vive en el plano pero es algo menos que una superficie y algo más que una curva.

 

Fractales famosos

 

Ya hemos explicado en un ejemplo sencillo por qué en un fractal encontramos una dimensión fraccionaria. Ahora os dejamos con algunos fractales famosos:

 

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Julia

El brocoli romanesco

Espero que os haya interesado la entrada y se haya aclarado un poco el tema de las dimensiones fractales. Volveremos a estos bichos para hablar de algunas de sus aplicaciones en física.

Nos seguimos leyendo…

 

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