CONCEPTOS MÉTRICOS II | Filo, internauta sin pauta [metronomía

29.09.2012 08:54

 

En Conceptos Métricos I se estableció que los conceptos métricos, también llamados conceptos cuantitativos o magnitudes, son una creación original de los lenguajes científicos y que están asociados a los estadios más avanzados de la ciencia.

 

Hablamos de tres aproximaciones al concepto de magnitudes:

 

1.          Medimos habitualmente cuando ya sabemos comparar

2.          Asignamos un número real a cada uno de los objetos que componen un dominio

3.          Establecemos un homomorfismo de un sistema empírico en un sistema numérico homólogo.

 

Ahora veremos diferentes tipos de magnitudes.

 

Escalas ordinales

 

Las escalas ordinales son las más pobres desde el punto de vista de la información que nos suministran. Se limitan a asignar números, conservando el orden de un sistema comparativo dado.

 

En mineralogía se dispone de un concepto comparativo de dureza. Siempre que asignemos números a los minerales, de tal manera que a dos minerales les corresponda el mismo número o a uno de ellos un número menor que el otro según que coincidan en cuanto dureza o el uno sea menos duro que el otro, tendremos una escala ordinal de dureza. La escala de Mohs, por ejemplo, se limita a expresar numéricamente el hecho de que un mineral es más o menos duro que otro, pero no nos dice cuánto más o menos duro es que el otro. No mide diferencias de dureza. Precisamente por ello, son muchas las transformaciones permisibles, es decir, las transformaciones del homomorfismo dado que dan lugar a homomorfismo del mismo tipo.

 

Si en vez de asignar 1 al talco, 2 al yeso, 3 a la calcita, etc., como hacía Mohs, asignamos 0 al talco, 500 al yeso, 500,5 a la calcita, 507 a la fluorita, etc., esa asignación sigue siendo uno escala ordinal de dureza. Precisamente esta indeterminación es la que impide que pueda haber una fórmula general para pasar de una escala ordinal a otra (correspondiente al mismo concepto).

 

Escalas proporcionales

 

Las escalas proporcionales son las más ricas desde el punto de vista de la información que suministran. No sólo nos dicen que un objeto es más o menos que otro respecto a alguna característica, sino que nos señalan en qué proporción exacta el uno es más o menos eso que el otro.

 

Para fijar una escala proporcional se elige un objeto cualquiera de A y se le asigna convencionalmente un número cualquiera. Así, en la escala métrica decimal se elige un determinado cilindro de platino e iridio (el “kilo patrón”) que se conserva en el museo de pesas y medidas de Sèvres y se le asigna el número 1.000. Con esto queda fijada la escala de masa en gramos.

 

A diferencia de lo que pasaba con las escalas ordinales, no todas las transformaciones monótonas de escalas proporcionales dan lugar a escalas proporcionales. Supongamos que un frasco destapado tiene 200 gramos de masa, y su tapa, 100 gramos. Por tanto, el frasco tapado tendrá 300 gramos de masa. Una transformación monótona de la escala métrica decimal en gramos podría asignar al frasco el número 2, a su tapa, el 1, y al frasco tapado el 9. Pero esa función no sería un homomorfismo.

 

Un homomorfismo f de un sistema empírico en un sistema numérico constituye una escala proporcional si y sólo si cualquier transformación similar de f es también un homomorfismo del mismo sistema empírico en el mismo sistema numérico. De aquí se sigue que para pasar de una escala proporcional a otra basta siempre con multiplicar por un número fijo, así, para pasar de una escala en kilos a otra en gramos basta con multiplicar por 1.000.

 

Magnitudes extensivas e intensivas

 

Los conceptos de masa o de longitud son homomorfismos de un sistema empírico que contiene una operación binaria de combinación de objetos en un sistema numérico que contiene la adición. Las magnitudes de este tipo se llaman magnitudes aditivas o extensivas.

 

La masa de un objeto compuesto de dos partes es igual a la suma de las masas de sus partes. La longitud del objeto resultante de colocar dos objetos en línea recta uno a continuación de otro es igual a la suma de sus longitudes. Lo mismo ocurre con el tiempo. No me seais pejigeras.

 

Las magnitudes que no son extensivas se llaman intensivas. Así, respecto a la operación de combinar dos economías nacionales para formar una unión económica, los conceptos de producto nacional bruto o de población son extensivos o aditivos, mientras que los conceptos de renta per cápita o de tasa de natalidad son intensivos. Respecto a la operación de vaciar el contenido de dos recipientes en un tercero el concepto de volumen es extensivo o aditivo, pero no los de temperatura o de densidad.

 

Decimos que un homomorfismo de un sistema empírico en otro numérico es una escala de intervalos si y sólo si toda transformación lineal positiva de ese homomorfismo es otro homomorfismo entre los mismos sistemas. Así como los conceptos métricos extensivos dan lugar a escalas proporcionales, los conceptos métricos intensivos dan lugar a escalas de intervalos. Las escalas de temperatura, por ejemplo, son escalas de intervalos.

 

Metrización fundamental y derivada

 

En la práctica la metrización suele realizarse simplemente mediante una definición en función de otras magnitudes previamente introducidas.

 

Así, podemos introducir el concepto métrico de densidad mediante la definición:

 

densidad(x)=masa(x)/volumen(x)

 

suponiendo que ya disponemos de los conceptos de masa y volumen. Cuando introducimos un concepto métrico en función de otros previamente introducidos, decimos que se trata de una metrización derivada. La mayoría de las metrizaciones son derivadas.

 

Este procedimiento no puede seguirse en toda metrización. Con algunos conceptos métricos hay que empezar, algunas magnitudes han de ser introducidas sin presuponer la previa introducción de otras. En estos pocos pero importantes casos hablamos de metrización fundamental. La introducción del concepto métrico de masa constituye una metrización fundamental, pues no presupone ninguna otra magnitud previa.

 

Ventajas de los conceptos métricos

 

Las ventajas de los conceptos métricos respecto a los clasificatorios o comparativos son evidentes. El vocabulario científico resulta mucho más simple, claro y manejable. Con un solo concepto métrico tenemos infinitas posibles situaciones ya descritas y ordenadas. Si pretendiésemos sustituir un concepto métrico como el de temperatura por una serie de conceptos clasificatorios (gélido, frío, fresco, tibio, etc.), no sólo descendería considerablemente el nivel de precisión, sino que cargaríamos nuestra memoria con gran cantidad de términos distintos, subjetivos. Otra ventaja es la de facilitar la búsqueda de leyes científicas.

 

La razón profunda de todas las ventajas que se pueden aducir estriba en que los conceptos métricos constituyen un puente entre el mundo real y el mundo ideal de la matemática. El mundo real es un mundo poco manipulable intelectualmente. El mundo de la matemática, por el contrario, es un mundo perfectamente estructurado y ordenado. Por eso, en cuanto los problemas que se plantean en el mundo real resultan demasiado complicados e inabarcables, la mejor estrategia para su solución suele consistir en representarlos como problemas matemáticos.

 

Internauta Sin Pauta